35-летний футболист является воспитанником академии московского «Динамо». В разные годы он выступал за клубы из Венгрии («Печ», «СЗТК-Эрима»), Грузии («Динамо» Батуми, «Гурия»), Азербайджана («Мика», «Алашкерт»), а также представлял российские команды — «Арарат» (Москва), «СКА-Хабаровск» и «Факел».
В сезоне 2024/25 Квеквескири провел 26 матчей и получил 11 желтых карточек. Ранее футболист играл за воронежский «Факел».
